一阶微分方程

  1. 可分离变量：x,dxx,dx 移到一边，y,dyy,dy 移到另一边，两边同时积分
  2. 齐次微分方程：微分方程 y′=f(x,y)y'=f(x,y) 可表示为 y′=g(yx)y'=g(\frac{y}{x})，令 u=yxu=\frac{y}{x}，先求出关于 uu 的解再代入
  3. y′=f(ax+by+c)y'=f(ax+by+c) （其中 b≠0b\ne0）：令 u=ax+by+cu=ax+by+c，则 y′=1b(dudx−a)y'=\frac{1}{b}(\frac{du}{dx}-a)，代入原方程
  4. y′=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})：可先尝试化简，否则采取如下变量代换，先解出 x0,y0x_0,y_0，再带入右侧

{a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0{X=x−x0Y=y−y0 \left\{ \begin{array}{ll} a_1x+b_1y+c_1=0,\\ a_2x+b_2y+c_2=0 \end{array} \right.\quad\quad\quad \left\{ \begin{array}{ll} X=x-x_0\\ Y=y-y_0 \end{array} \right.

一阶线性微分方程

即 y′+P(x)y=Q(x)y'+P(x)y=Q(x)，先求得齐次解 y=Ce−∫P(x)dxy=Ce^{-\int P(x)dx}，将 CC 看作 C(x)C(x)，代入原方程求解得 C(x)C(x)，然后得通解：

y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)

上述方法为常数变易法

伯努利方程

即 y′+P(x)y=Q(x)yα,α≠0,1y'+P(x)y=Q(x)y^\alpha,\alpha\ne0,1，令 z=y1−αz=y^{1-\alpha}，再将 y′=11−αyαz′y'=\frac{1}{1-\alpha}y^\alpha z' 代入方程得：

z′+(1−α)P(x)z=(1−α)Q(x)z'+(1-\alpha)P(x)z=(1-\alpha)Q(x)

此为一阶线性方程，先求出 zz 再转换到 yy 即可

可降阶高阶微分方程

  1. y(n)=f(x)y^{(n)}=f(x)：逐次积分
  2. y′′=f(x,y′)y''=f(x,y')：令 p(x)=y′p(x)=y'，先求 pp，再求 yy
  3. y′′=f(y,y′)y''=f(y,y')：令 p(y)=y′p(y)=y'，则 y′′=dpdy⋅dydx=p⋅dpdyy''=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\cdot\frac{dp}{dy}，代入原方程解出 p=p(y)p=p(y)，再求 yy

叠加原理

若 y1(x),y2(x)y_1(x),y_2(x) 分别为

y(n)(x)+p1(x)y(n−1)(x)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y(x)=f1(x)y(n)(x)+p1(x)y(n−1)(x)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y(x)=f2(x)y^{(n)}(x) + p_1(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_{n-1}(x)y' + p_n(x)y(x) = f_1(x)\\ y^{(n)}(x) + p_1(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_{n-1}(x)y' + p_n(x)y(x) = f_2(x)

的解，则 C1y1(x)+C2y2(x)C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 是下面方程的解

y(n)(x)+p1(x)y(n−1)(x)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y(x)=C1f1(x)+C2f2(x)y^{(n)}(x) + p_1(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_{n-1}(x)y' + p_n(x)y(x) = C_1f_1(x) + C_2f_2(x)

推论：若 y1(x),y2(x)y_1(x),y_2(x) 是线性齐次微分方程

y(n)(x)+p1(x)y(n−1)(x)+⋯+pn−1(x)y′+pn(x)y(x)=0y^{(n)}(x) + p_1(x)y^{(n-1)}(x) + \cdots + p_{n-1}(x)y' + p_n(x)y(x) = 0

的解，则 C1y1(x)+C2y2(x)C_1y_1(x)+C_2y_2(x) 也是该方程的解

二阶线性齐次方程/刘维尔公式（HL）

若 y1(x)y_1(x) 是方程 y′′+p(x)y′+q(x)y=0y''+p(x)y'+q(x)y=0 （HL）的非零解，则另一个线性无关解为：

y2(x)=y1∫1y12e−∫p(x)dxdxy_2(x)=y_1\int\frac{1}{y_1^2}e^{-\int p(x)dx}dx

二阶线性非齐次方程（NHL）

即 y′′+p(x)y′+q(x)y=f(x)y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，记为 NHL；若 y∗y* 为此方程的解，y1(x),y2(x)y_1(x),y_2(x) 是齐次方程的基本解组，则通解为

y=y∗+C1y1(x)+C2y2(x)y=y*+C_1y_1(x)+C_2y_2(x)

课本例 6.19：y′′+y=tan⁡xy''+y=\tan x，有齐次基本解组 cos⁡x,sin⁡x\cos x,\sin x

设特解为 y^=c1(x)cos⁡x+c2(x)sin⁡x\hat{y}=c_1(x)\cos x+c_2(x)\sin x，求导 y^′=c1′(x)cos⁡x+c2′(x)sin⁡x−c1(x)sin⁡x+c2(x)cos⁡x\hat{y}'=c_1'(x)\cos x+c_2'(x)\sin x-c_1(x)\sin x+c_2(x)\cos x

令 c1′(x)cos⁡x+c2′(x)sin⁡x=0c_1'(x)\cos x+c_2'(x)\sin x=0，继续求 y′′y''，代入原方程求解

可推广到 nn 阶线性（齐次）微分方程

常系数线性齐次方程

如 y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0，猜测其可化为 (r2+pr+q)erx=0(r^2+pr+q)e^{rx}=0，得特征方程 r2+pr+q=0r^2+pr+q=0 再解得特征根，即可求得：

  1. r1≠r2,r1,r2∈Rr_1\ne r_2,r_{1},r_{2}\in\mathbb{R}：通解为 y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}
  2. r1=r2,r1,r2∈Rr_1=r_2,r_{1},r_{2}\in\mathbb{R}：用刘维尔公式求得 y=C1erx+C2xerxy=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}
  3. r1=α+iβ,r2=α−iβr_1=\alpha+i\beta,r_{2}=\alpha-i\beta：用欧拉公式得 y=C1eαxcos⁡βx+C2eαxsin⁡βxy=C_1e^{\alpha x}\cos\beta x+C_{2}e^{\alpha x}\sin\beta x

推广到 y(n)+p1y(n−1)+⋯+pn−1y′+pn=0y^{(n)}+p_{1}y^{(n-1)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_{n}=0：

  1. 单实根：erxe^{rx}
  2. kk 重实根：erx,xerx,⋯ ,xk−1erxe^{rx},xe^{rx},\cdots,x^{k-1}e^{rx}
  3. 单重共轭复根：eαxcos⁡βx,eαxsin⁡βxe^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x
  4. kk 重共轭复根：eαxcos⁡βx,eαxsin⁡βx,⋯ ,xk−1eαxcos⁡βx,xk−1eαxsin⁡βxe^{\alpha x}\cos\beta x,e^{\alpha x}\sin\beta x,\cdots,x^{k-1}e^{\alpha x}\cos\beta x,x^{k-1}e^{\alpha x}\sin\beta x

常系数线性非齐次方程

二阶基本形式：y′′+py′+qy=f(x)y''+py'+qy=f(x)，f(x)f(x) 为连续函数，考虑其不同形式：

  • f(x)=(b0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm)eλxf(x)=(b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_m)e^{\lambda x}：特解为 y∗=xk(B0xm+B1xm−1+⋯+Bm−1x+Bm)eλxy^*=x^k(B_{0}x^m+B_{1}x^{m-1}+\cdots+B_{m-1}x+B_{m})e^{\lambda x}，其中 kk 为 λ\lambda 作为特征方程的根的重数
  • f(x)=[P(x)cos⁡βx+Q(x)sin⁡βx]eαx=12eαx−iβx[P(x)+iQ(x)]f(x)=[P(x)\cos\beta x+Q(x)\sin\beta x]e^{\alpha x}=\frac{1}{2}e^{\alpha x-i\beta x}[P(x)+iQ(x)]：特解为 y∗=xk[A(x)cos⁡βx+B(x)sin⁡βx]eαxy^*=x^k[A(x)\cos\beta x+B(x)\sin\beta x]e^{\alpha x}，其中 kk 是 α+iβ\alpha+i\beta 作为特征方程的根的重数，P(x),Q(x)P(x),Q(x) 最高次数为 mm，A(x),B(x)A(x),B(x) 均为 mm 次待定多项式

欧拉方程

二阶欧拉方程：x2y′′+pxy′+qy=0x^2y''+pxy'+qy=0，设 x=et,y=y(t)x=e^t,y=y(t)，带入求得 yy 与 tt 的二阶常系数线性方程：d2ydt2+(p−1)dydt+qy=0\frac{d^2y}{dt^2}+(p-1) \frac{dy}{dt}+qy=0，引入记号 D=ddtD=\frac{d}{dt}，则化为：

[D(D−1)+pD+q]y=0[D(D-1)+pD+q]y=0

其特征方程为 r(r−1)+pr+q=0r(r-1)+pr+q=0，易解出原方程通解

微分方程数值解

略

向量

  • ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅sin⁡(a⃗,b⃗^)|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot \sin(\widehat{\vec{a},\vec{b}})
  • 混合积（围成体积）

[a⃗,b⃗,c⃗]=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix}

  • 空间四点共面充要条件即体积为 00

空间平面

  • 点法式：A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0，法向量 n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A,B,C)
  • 一般式：Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0
  • 截距式：xa+yb+zc=1\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1，a,b,ca,b,c 分别在 x,y,zx,y,z 轴截距
  • 标准式：u⃗,v⃗\vec{u},\vec{v} 在平面上不共线

∣x−x0y−y0z−z0u1u2u3v1v2v3∣=0\begin{vmatrix} x-x_{0} & y-y_{0} & z-z_{0} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{vmatrix} =0

  • 三点式：平面上三个不共线的点

∣x−x1y−y1z−z1x2−x1y2−y1z2−z1x3−x1y3−y1z3−z1∣=0\begin{vmatrix} x-x_{1} & y-y_{1} & z-z_{1} \\ x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ x_{3}-x_{1} & y_{3}-y_{1} & z_{3}-z_{1} \end{vmatrix} =0

空间直线

  • 参数式：s⃗=(m,n,p)\vec{s}=(m,n,p) 为方向向量

{x=x0+tmy=y0+tnz=z0+tpt∈R\begin{cases} x=x_{0}+tm \\ y=y_{0}+tn \\ z=z_{0}+tp \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}

  • 标准式/点向式：x−x0m=y−y0n=z−z0p\frac{x-x_{0}}{m}=\frac{y-y_{0}}{n}=\frac{z-z_{0}}{p}
  • 两点式：x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}
  • 一般式：

{A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0(A1:B1:C1≠A2:B2:C2)\begin{cases} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 \\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0 \end{cases} \quad (A_{1}:B_{1}:C_{1}\ne A_{2}:B_{2}:C_{2})

  • 点 PP 到直线距离公式：直线方向向量 s⃗\vec{s}，取直线上一点 MM，则距离

d=∣MP→×s⃗∣∣s⃗∣d=\frac{|\overrightarrow{MP}\times \vec{s}|}{|\vec{s}|}

  • 验证两条直线异面：分别取两点，然后 [M1M2→,s1⃗,s2⃗]=0[\overrightarrow{M_1M_2},\vec{s_{1}},\vec{s_{2}}]=0
  • 求两条直线 l1,l2l_{1},l_{2} 公垂线 ll：设 l1,ll_{1},l 平面为 π1\pi_{1}，l2,ll_{2},l 平面为 π2\pi_{2}，则公垂线为：

{[M1M→,s1⃗,s1⃗×s2⃗]=0[M2M→,s2⃗,s1⃗×s2⃗]=0\begin{cases} [\overrightarrow{M_{1}M},\vec{s_{1}},\vec{s_{1}}\times\vec{s_{2}}]=0 \\ [\overrightarrow{M_{2}M},\vec{s_{2}},\vec{s_{1}}\times\vec{s_{2}}]=0 \end{cases}

曲面/曲线

  • 椭球面：x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 (a>0,b>0,c>0)(a>0,b>0,c>0)，其中 a,b,ca,b,c 称为半轴

  • 单叶双曲面：x2a2+y2b2−z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 (a>0,b>0,c>0)(a>0,b>0,c>0)

  • 双叶双曲面：−x2a2−y2b2+z2c2=1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 (a>0,b>0,c>0)(a>0,b>0,c>0)

  • 椭圆抛物面：x2a2+y2b2=z\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z (a>0,b>0)(a>0,b>0)，与对称轴交点称为顶点

  • 双曲抛物面：x2a2−y2b2=z\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z (a>0,b>0)(a>0,b>0)

  • 柱面：母线沿准线移动形成的面

  • 旋转面：曲线 CC （子午线）绕定直线（对称轴）旋转一周的曲面

  • 锥面：准线中间固定在顶点，另一段沿母线移动形成锥面

  • 曲面可表示为双参数方程

  • 曲线一般式方程，参数方程：即两个相交曲面方程联立

  • 曲线在坐标平面的投影：分别变换消去 x,y,zx,y,z 即可

偏导数/全微分

  • fxy=∂2f∂x∂y=∂∂y(∂f∂x)f_{xy}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)
  • 全微分：df=fx dx+fy dy\mathrm{d}f = f_x\, \mathrm{d}x + f_y\, \mathrm{d}y
  • 偏导数连续 ⇒\Rightarrow 可微 ⇒\Rightarrow 连续 & 可偏导
  • 全微分近似计算：f(x,y)≈f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)f(x,y)\approx f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})

隐函数的偏导数

  • 隐函数存在定理：F(x,y)F(x,y) 在 (x0,y0)(x_0,y_0) 邻域内具有连续偏导数，且 F(x0,y0)=0,Fy(x0,y0)≠0F(x_0,y_0)=0,F_y(x_0,y_0)\ne0，则可确定唯一的 y=y(x)y=y(x)，且 dydx=∂y∂x=−FxFy\frac{dy}{dx}=\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}
  • 若隐函数以方程组 F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0 确定，则有行列式

J=∂(F,G)∂(u,v)=∣∂F∂u∂F∂v∂G∂u∂G∂v∣J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}= \begin{vmatrix} \frac{ \partial F }{ \partial u } & \frac{ \partial F }{ \partial v } \\ \frac{ \partial G }{ \partial u } & \frac{ \partial G }{ \partial v } \end{vmatrix}

  • 若该 Jacobi 行列式在 (x0,y0,u0,v0)(x_0,y_0,u_0,v_0) 处不等于 00，则可确定唯一一组 u=u(x,y),v=v(x,y)u=u(x,y),v=v(x,y)，且有连续偏导数：

ux=−1J⋅∂(F,G)∂(x,v)vx=−1J⋅∂(F,G)∂(u,x)uy=−1J⋅∂(F,G)∂(y,v)vy=−1J⋅∂(F,G)∂(u,y)\begin{aligned} u_x &= -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)} \quad v_x = -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)} \\ u_y &= -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)} \quad v_y = -\frac{1}{J} \cdot \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)} \end{aligned}

方向导数/梯度

  • 方向导数：将方向向量单位化 l0⃗\vec{l^0}，则 ∂u∂l∣M0=(ux,uy)⋅l0⃗\frac{ \partial u }{ \partial l }|_{M_{0}}=(u_{x},u_{y})\cdot\vec{l^0}
  • 梯度：grad f=∇f=(fx,fy)\text{grad }f=\nabla f=(f_{x},f_{y})，∇\nabla 为哈密顿算子

切线/切平面/法线/法平面

  • 参数方程求切向量：τ⃗=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))\vec{\tau}=(x'(t_{0}),y'(t_{0}),z'(t_{0}))
  • 两个隐函数：左右同时微分，代入点 M0M_0，得 k(dx,dy,dz)k(dx,dy,dz) 即切向量
  • 光滑曲线：在每一个点有切线且切向量 (x′(t),y′(t),z′(t))(x'(t),y'(t),z'(t)) 连续变化
  • 切平面：取法向量 n⃗=∇F(M0)=(Fx,Fy,Fz)\vec{n}=\nabla F(M_{0})=(F_{x},F_{y},F_{z})
  • 光滑曲面：对曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，FF 有连续偏导数且 Fx2+Fy2+Fz2≠0F_x^2+F_y^2+F_z^2\ne0，那么每点都有切平面，且法向量连续变化
  • 两个曲面交线切向量：求两个曲面的法向量，再叉乘

二元泰勒公式

  • 二元泰勒公式

f(x0+Δx,y0+Δy)=∑k=0n1k!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)kf(x0,y0)+Rnf(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x_{0},y_{0})+R_{n}

  • 拉格朗日型余项：

Rn=1(n+1)!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)n+1f(x0+θΔx,y0+θΔy),0<θ<1R_{n}=\frac{1}{(n+1)!}\left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y),0<\theta<1

  • 拉格朗日中值定理（取 n=0n=0）：

f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)=fx(x0+θΔx,y0+θΔy)Δx+fyΔy,0<θ<1f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=f_{x}(x_{0}+\theta\Delta x,y_{0}+\theta\Delta y)\Delta x+f_{y}\Delta y,0<\theta<1

  • Peano 型余项

Rn=o(ϕn),ϕ=(Δx)2+(Δy)2R_{n}=o(\phi^n),\phi=\sqrt{ (\Delta x)^2+(\Delta y)^2 }

  • Maclaurin 公式（取 x0=0,y0=0x_0=0,y_0=0）

f(x,y)=∑k=0n1k!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)kf(0,0)+1(n+1)!(Δx∂∂x+Δy∂∂y)n+1f(θx,θy),0<θ<1f(x,y)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(0,0)+\frac{1}{(n+1)!}\left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^{n+1} f(\theta x,\theta y),0<\theta<1

  • 二阶泰勒公式

f(x,y)≈ f(a,b)+fx(a,b)(x−a)+fy(a,b)(y−b)+12fxx(a,b)(x−a)2+fxy(a,b)(x−a)(y−b)+12fyy(a,b)(y−b)2\begin{aligned} f(x, y) \approx\ & f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) \\ & + \frac{1}{2}f_{xx}(a, b)(x - a)^2 + f_{xy}(a, b)(x - a)(y - b) + \frac{1}{2}f_{yy}(a, b)(y - b)^2 \end{aligned}

二元函数极值

  • 二元函数极值必要条件：fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0（驻点），极值点存在于驻点或至少有一个偏导数不存在的点中
  • 二元函数极值充分条件：若二元函数在某领域有二阶连续偏导数，且 P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0) 为驻点，记 A=fxx(x0,y0),B=fxy,C=fyx,D=fyyA=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy},C=f_{yx},D=f_{yy}，且 H=AC−B2H=AC-B^2，则： 当 H>0H>0 时 f(x0,y0)f(x_0,y_0) 为极值，若 A>0A>0 为极小值，若 A<0A<0 为极大值；当 H<0H<0 时不是极值
  • 条件极值/拉格朗日乘数法：在 ϕ=0\phi=0 的约束下求 ff 极值，引进函数 F(x,y,z,λ)=f+λgF(x,y,z,\lambda)=f+\lambda g，求解方程组 Fx=Fy=Fz=Fλ=ϕ=0F_x=F_y=F_z=F_\lambda=\phi=0

重积分

  • Jacobi 行列式：换元的目标对象放在下面。如 x,yx,y 换 u,vu, v，则求 ∂(x,y)∂(u,v)\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
  • 球坐标：x=rsin⁡ϕcos⁡θ,y=rsin⁡ϕsin⁡θ,z=rcos⁡ϕ,∣J∣=r2sin⁡ϕx=r\sin \phi \cos \theta,y=r\sin \phi \sin \theta,z=r\cos \phi,|J|=r^2\sin \phi
  • 平面薄片的静力矩：xx 轴为 Mx=∬Dyμ(x,y)dσM_x = \iint_{D} y \mu(x,y)d\sigma，yy 轴为 My=∬Dxμ(x,y)dσM_y = \iint_{D} x \mu(x,y)d\sigma
  • 质心位置：x=Mym=∬Dxμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσ,y=Mxm=∬Dyμ(x,y)dσ∬Dμ(x,y)dσx=\frac{M_{y}}{m}=\frac{\iint_{D} x \mu(x,y)d\sigma}{\iint_{D} \mu(x,y)d\sigma},y=\frac{M_{x}}{m}=\frac{\iint_{D} y \mu(x,y)d\sigma}{\iint_{D} \mu(x,y)d\sigma}
  • 面密度 μ\mu 为常数时，薄片质心即形心，形心位置：x=1AD∬xdσ,y=1AD∬ydσx=\frac{1}{A_{D}}\iint xd\sigma,y=\frac{1}{A_{D}}\iint yd\sigma
  • 转动惯量：Ix=∭Ω(y2+z2)μdV,IO=∭Ω(x2+y2+z2)μdVI_{x}=\iiint_{\Omega}(y^2+z^2)\mu dV,I_{O}=\iiint_{\Omega}(x^2+y^2+z^2)\mu dV
  • 引力：Fx=∭Ωkm0μ(x−x0)r3dVF_x=\iiint_{\Omega}\frac{km_{0}\mu(x-x_{0})}{r^3}dV

第一类曲线/曲面积分

  • 曲线 ∫Cf(x,y)ds\int_{C}f(x,y)ds：ds=x′2(t)+y′2(t)dt=1+y′2(t)dxds=\sqrt{ x'^2(t)+y'^2(t) }dt=\sqrt{ 1+y'^2(t) }dx
  • 曲面 ∬Σf(x,y,z)dS\iint_{\Sigma}f(x,y,z)dS：若从 x,y,zx,y,z 换到 u,vu,v，则令 r⃗(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，dS=∣rx⃗×ry⃗∣dxdy=∣(∂(y,z)∂(u,v),∂(z,x)∂(u,v),∂(x,y)∂(u,v))∣dxdy=A2+B2+C2dxdy=1+zx2+zy2dxdydS=|\vec{r_{x}}\times\vec{r_{y}}|dxdy=|(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)})|dxdy=\sqrt{ A^2+B^2+C^2 }dxdy=\sqrt{ 1+z_{x}^2+z_{y}^2 }dxdy

第二类曲线/曲面积分

  • 曲线 ∫CF⃗(x,y)⋅dr⃗=∫C[F⃗(x,y)⋅er⃗(x,y)]ds=∫CPdx+Qdy=∫αβ[Px′(t)+Qy′(t)]dt=∫ab[P+Qy′(x)]dx\int_{C}\vec{F}(x,y)\cdot d \vec{r}=\int_{C}[\vec{F}(x,y)\cdot \vec{e_{r}}(x,y)]ds=\int_{C}Pdx+Qdy=\int_{\alpha}^\beta[Px'(t)+Qy'(t)]dt=\int_{a}^b[P+Qy'(x)]dx
  • 曲面 ∬ΣF⃗(x,y,z)⋅dS⃗=∬ΣF⃗⋅n0⃗dS=±∬D(PA+QB+RC)dudv=±∬Dxy(−Pzx−Qzy+R)dxdy\iint_{\Sigma}\vec{F}(x,y,z)\cdot d \vec{S}=\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot\vec{n^0}dS=\pm \iint_{D}(PA+QB+RC)dudv=\pm \iint_{D_{xy}}(-Pz_{x}-Qz_{y}+R)dxdy
  • 曲面合一投影法：x,y,zx,y,z 分开求；即 P=Q=0P=Q=0时，∬ΣRdxdy=±∬DxyR(x,y,z(x,y))dxdy\iint_{\Sigma}Rdxdy=\pm \iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy

Green 公式

  • 正方向：逆时针；反方向：顺时针
  • 若 DD 内的任意一条封闭曲线所围成的区域都在 DD 内则称区域 DD 为单连通的，否则为复连通的
  • ∮C+Pdx+Qdy=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{C^+}Pdx+Qdy=\iint_{D}\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy （沿曲线切向量方向）
  • 向量形式：F⃗(x,y)=(f,g)\vec{F}(x,y)=(f,g), ∮C+F⃗⋅n0⃗ds=∮C(−gdx+fdy)=∬D∇⋅F⃗dσ=∬D(∂f∂x+∂g∂y)dσ\oint_{C^+}\vec{F}\cdot \vec{n^0}ds=\oint_{C}(-gdx+fdy)= \iint_{D} \nabla \cdot \vec{F}d\sigma=\iint_{D} ( \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y} ) d\sigma (n⃗0\vec{n}_{0} 为法向量，垂直于切向量 er⃗\vec{e_{r}}，沿垂直方向，用于计算流量)
  • 如果曲线不封闭，则先封闭，再扣除新增曲线。如果过原点，则画半径为 ϵ\epsilon 的圆/椭圆。
  • 平面区域 DD 的面积：AD=∬Ddxdy=∮C+xdy=−∮C+ydx=12∮C+xdy−ydxA_D=\iint_{D} dxdy=\oint_{C^+}xdy=-\oint_{C^+}ydx=\frac{1}{2}\oint_{C^+}xdy-ydx
  • 若函数 P,QP,Q 在单连通区域 DD 上有连续的偏导数，则以下几个条件相互等价：
    1. 对 DD 内任一条分段光滑闭曲线 CC，有 ∮CPdx+Qdy=0\oint_{C}Pdx+Qdy=0
    1. 曲线积分 ∫CPdx+Qdy\int_{C}Pdx+Qdy 在 DD 内与路径无关
    1. 存在 DD 上的可微函数 u(x,y)u(x,y)，使得 du=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdy
    1. 等式 ∂Qdx=∂P∂y\frac{\partial Q}{dx}=\frac{\partial P}{\partial y} 在 DD 内处处成立

全微分方程

  • 前提条件：函数 P,QP,Q 在单连通区域 DD 上有连续的偏导数，且等式 ∂Qdx=∂P∂y\frac{\partial Q}{dx}=\frac{\partial P}{\partial y} 在 DD 内处处成立
  • 方法1：选择一个点 (x0,y0)(x_0,y_0)，然后先沿着 xx 或 yy 轴平行的直线积分，再积到 (x,y)(x,y)
  • 方法2：先取 u=∫∂u∂xdx=∫Pdx=f(x,y)+C(y)u=\int \frac{\partial u}{\partial x}dx=\int Pdx=f(x,y)+C(y)，则 ∂u∂y=f′(x,y)+C′(y)=Q\frac{\partial u}{\partial y}=f'(x,y)+C'(y)=Q，即可解出
  • 若 ∂Qdx≠∂P∂y\frac{\partial Q}{dx}\ne\frac{\partial P}{\partial y}，则需要凑微分凑出正确形式，一般需要乘以积分因子：1x2,1y2,1xy,1x2+y2,1x2y2,1x2+y2\frac{1}{x^2}, \frac{1}{y^2}, \frac{1}{xy}, \frac{1}{x^2+y^2}, \frac{1}{x^2y^2}, \frac{1}{\sqrt{ x^2+y^2 }}

Gauss 公式

  • S+S^+ 为曲面外侧

∬S+Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dV\iint_{S^+} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV

  • 空间区域 Ω\Omega 体积计算公式：

VΩ=13∬S+xdydz+ydzdx+zdxdyV_{\Omega}=\frac{1}{3}\iint_{S^+}xdydz+ydzdx+zdxdy

  • 通量：Φ=∬ΣF⃗⋅dS⃗\Phi=\iint_{\Sigma}\vec{F}\cdot d\vec{S}
  • 散度：∇⋅F⃗=divF⃗=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\nabla \cdot \vec{F}=div \vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
  • Gauss 公式的向量形式：∬S+F⃗⋅dS⃗=∭ΩdivF⃗dV\iint_{S^+}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{\Omega}div \vec{F}dV（向量场 FF 的散度场为数量场）

Stokes 公式*

  • Green 公式的三维下的推广
  • 曲线 CC 方向与曲面 Σ\Sigma 法向量方向（拇指）符合右手法则

∮CPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{C}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\Sigma}\left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)dydz+\left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right)dzdx+\left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dxdy

  • 环量：∫LF⃗⋅dr⃗=∫LPdx+Qdy+Rdz\int_{L}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{L}Pdx+Qdy+Rdz（即第二类曲线积分）
  • 旋度：即 Green 公式或 Stokes 公式算出来的值，在 MM 点旋度记为 rotF⃗(M),curlF⃗(M)=∇×F⃗rot \vec{F}(M), curl\vec{F}(M)=\nabla \times \vec{F}