离散数学 笔记
上半学期 Lec1 Q\mathbb{Q}Q: 有理数 基本代数定理 FTA：任何大于1的整数都能被分解为质数乘积 n=p1e1⋯prern=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}n=p1e1⋯prer（数学归纳法证明） 良序公理：非空非负子集有最小元 带余除法：a=bq+ra=bq+ra=bq+r 理想：加法/数乘封闭，dZ={0,±d,±2d,⋯ }d\mathbb{Z}=\{0,\pm d,\pm 2d,\cdots\}dZ={0,±d,±2d,⋯}，aZ+bZ=gcd(a,b)Za\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}=\gcd(a,b)\mathbb{Z}aZ+bZ=gcd(a,b)Z gcd(a,b)=p1min({α1,β1})⋯prmin({αr,βr})\gcd(a,b)=p_1^{min(\{\alpha_1,\beta_1\})}\cdots p_r^{min(\{\alpha_r,\beta_r\})}gcd(a,b)=p1min({α1,β1})⋯prmin({αr,βr}) 裴蜀定理 Bézout’s...
高等数学II 笔记
一阶微分方程 可分离变量：x,dxx,dxx,dx 移到一边，y,dyy,dyy,dy 移到另一边，两边同时积分 齐次微分方程：微分方程 y′=f(x,y)y'=f(x,y)y′=f(x,y) 可表示为 y′=g(yx)y'=g(\frac{y}{x})y′=g(xy)，令 u=yxu=\frac{y}{x}u=xy，先求出关于 uuu 的解再代入 y′=f(ax+by+c)y'=f(ax+by+c)y′=f(ax+by+c) （其中 b≠0b\ne0b=0）：令 u=ax+by+cu=ax+by+cu=ax+by+c，则 y′=1b(dudx−a)y'=\frac{1}{b}(\frac{du}{dx}-a)y′=b1(dxdu−a)，代入原方程 y′=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2)y'=f(\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2})y′=f(a2x+b2y+c2a1x+b1y+c1)：可先尝试化简，否则采取如下变量代换，先解出...
高等数学I 笔记
逻辑符号 差集：A∖B={x∈A∣x∉B}A \setminus B = \{x \in A | x \notin B\}A∖B={x∈A∣x∈/B}；直积：A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}A \times B = \{(a,b) | a \in A, b \in B\}A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B} 对任意给定的 (for any given) : ∀\forall∀；存在 (exist) : ∃\exists∃；存在唯一 : ∃!\exists!∃! 否定： ∃country,∀city∈country,∃month,∀day∈month,Always rains∀country,∃city∈country,∀month,∃day∈month,Never rains\exists country,\forall city\in country,\exists month,\forall day\in month,Always\ rains\\ \forall country,\exists city\in country,\forall...
线性代数I 笔记
矩阵 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}(AB)−1=B−1A−1，(AB)⊤=B⊤A⊤(AB)^\top=B^\top A^\top(AB)⊤=B⊤A⊤ ABABAB 可逆则 A,BA,BA,B 均可逆，则 BABABA 可逆；反之若 ABABAB 不可逆，则 BABABA 不可逆 矩阵可逆的等价说法 AAA 可逆 Ax⃗=0A\vec{x}=0Ax=0 只有平凡解 AAA 的简化阶梯型为单位矩阵 AAA 是一组初等矩阵的乘积 Ax⃗=b⃗A\vec{x}=\vec{b}Ax=b 对任何 n×1n\times1n×1 的列向量 b⃗\vec{b}b 都有解（且仅有一个解） det(A)≠0\det(A)\neq0det(A)=0 AAA 的所有 nnn 个行向量线性无关 AAA 的所有 nnn...
